*** Minimisation d'une distance

Partie 1 - Étude de signe d'une fonction

On désigne par  \(f\) la fonction définie sur l’intervalle  \(]0\ ;+\infty[\) par \(f (x) = x^2 + 4\ln x.\)

1. Déterminer le tableau de variations de la fonction  \(f\) en précisant les limites de  \(f\) en  \(0\) et en \(+\infty\) .
2. Démontrer que l’équation  \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\)  dans l’intervalle  \(]0\ ;+\infty[\) .
3. En déduire le signe de \(f (x)\)  selon les valeurs d u réel strictement positif  \(x\) .

Partie 2 - Un problème de distance

On appelle  \((\Gamma)\) la courbe représentative, dans un repère orthonormal, de la fonction  \(\varphi\) définie sur l’intervalle  \(]0\ ;+\infty[\) par \(\varphi(x)=2\ln(x)\) .
L’objectif de cette partie est de démontrer que, parmi les points de la courbe  \((\Gamma)\) , il y en a un et un seul qui est plus proche de l’origine  \(\text{O}\) que tous les autres.

1. Soit  \(\text{M}\) un point de la courbe   \((\Gamma)\)  d'abscisse \(x\) . Exprimer la distance \(\text{OM}\)  en fonction de \(x\) .
2. a. Soit  \(h\) la fonction définie sur l’intervalle  \(]0\ ;+\infty[\) par \(h(x) = x^2 + 4(\ln x)^2\) . Étudier les variations de la fonction \(h\)  sur  \(]0\ ;+\infty[\) .
    b. En déduire qu’il existe un unique point \(\text{A}\)  de la courbe  \((\Gamma)\) tel que, pour tout point  \(\text{M}\) de     \((\Gamma)\) , distinct de \(\text{A}\) , on ait \(\text{OM} > \text{OA}\) .
3. Démontrer que la droite  \(\text{(OA)}\) est perpendiculaire à la tangente \((T_\text{A})\) à la courbe \((\Gamma)\) au point \(\text{A}\) .